内科医プー様寄稿 集団免疫を可視化する

管理人様 皆様 大変お世話になっております。
メタボ系内科医 プーです。再びで申し訳ありません。

イギリスのジョンソン首相が集団免疫に言及した演説を行い、大反響とのことです。
集団免疫がどういうものか、数字や計算式だけでは難しいのではないかと思い、紙筆で再現できるワークを提示したいと思います。
もう1回だけお付き合いいただければ幸いです。

基本再生産数(R0)の分かっている感染症が、36人の学級に侵入したときに、週ごとにどのように流行してゆくか、というものです。

(６×６表.gif）
ここでは、R0 = 2 の感染症とします。日本での新型コロナウイルス、ワクチンのない状態でのインフルエンザ、くらいの感染力です。
感染しうる範囲は、飛沫感染で2 mと言われているので、隣の席までです。
どっちに感染するかは、「8面ダイス」に任せます。
多くの人は持っていないと思うので、
http://cthuwebdice.session.jp/dice/ (クトゥルフWEBダイス)の「1D8」の「ダイスロール」をクリック、などを使ってください。

ダイスの出目と反対側( 5 が出たら 5 と 1 の方向)に感染します。元の感染者は治癒して免疫を持ちます。

(week1.gif)
感染先が空白なら感染して次の数字を記入します。
感染先が既に記入されている(=免疫を持つ)、または端の場合は感染できません。

(week3.gif)
これ以上感染出来なくなったら終了となります。
さて、流行の終息までに何割くらいの人が感染するでしょうか。

次に、ある程度の人達がワクチン接種を受けて免疫を持っていたとします。
ここでは、3割の人が免疫を持っていたとして、36人の3割で11人、「R」(Resistant)を予め記入してください。実効再生産数は(36／25 =)1.44で、管理人様の3月18日の記事の日本の現況に相当します。
 
 
(Resistant 11.gif)
そして同様に流行させてください。

どのような結果になったでしょうか。
②予め何割感染するかを予想してから臨むと、より効果的です。

ダイス運にもよりますが、おそらく、①では6-7割、②では1-2割が感染したと思います。
これが、同じ感染力を持つ病原体相手でも、ワクチンのあるなしの違いです。
自然に集団免疫を付ける、というのがいかに大変かということを分かって頂けたでしょうか。

もしまだ時間があるようでしたら、
欧州の新型コロナウイルス(R0は4くらい、ダイスで奇数が出たら奇数の4マス、偶数が出たら偶数の4マスに感染)風疹(R0は約6、ダイスの出目とその反対「以外」に感染)、さらに予防接種で予防してみる、といった形で試していただけると、インパクト大です。

そして、現在のイタリアの惨状です。
目下中国に次ぐ感染者・死者を出して、まさに地獄と思われます。
しかしあえてポジティブなことを言いたいです。

3月18日の管理人様の記事より、3月11日～16日の感染増加率は

スペイン 4.78倍
イタリア 2.438倍

スペインはイタリアの倍です。
何の違いでしょうか。

感染増加率は、ほぼ実効再生産数と同義です。
経済状況や医療システムなど、両国の間に大雑把には違いが無いと仮定します｡(両国に失礼だと思いますが)
感染拡大が進めば、免疫を獲得した人も増えて、政府が何もしなくても実効再生産数は減少してゆきます。
違うのはフェーズです。管理人様の3月11日の記事では、スペインの流行はイタリアに対して10.5日遅れだそうです。

新型コロナウイルスが、3月11～16日の間にスペインでは1人の感染者が4.78人に感染させました。
しかしイタリアでは2.438人にしか感染させませんでした。ということは、残りの2.342人は既に感染して免疫を持っているのです。
従って、その時期にはイタリア国民の半分は既に免疫を持っていたということになります。

再生産率と集団免疫率の関係はこのような関係です。
(基本再生産数 - 1)／基本再生産数 = 集団免疫率

しかし、「1」というのは、「これが1以下なら次第に感染者が減少してゆくので流行は終息する」という境目です。

広義には、「実効再生産数」を当てはめることが出来ます。
(基本再生産数 - 実効再生産数)／基本再生産数 = 集団免疫率
として、どれか1つが未知数の場合には他の値から求めることが出来ます。
基本再生産数をスペインでの感染増加率4.78として、イタリアの2.438をイタリアの実効再生産数とすれば、イタリアの集団免疫率は0.49です。

感染や診断、統計処理のタイムラグを考えれば、集団免疫率はさらに増えていると推定されます。

一方で、イタリアでの新規感染者数も、まだ増えています。

イタリアにおける2019年コロナウイルス感染症の流行状況
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%82%BF%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B2019%E5%B9%B4%E3%82%B3%E3%83%AD%E3%83%8A%E3%82%A6%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%B9%E6%84%9F%E6%9F%93%E7%97%87%E3%81%AE%E6%B5%81%E8%A1%8C%E7%8A%B6%E6%B3%81

これが減少に転じたら、上記の式の実効再生産数は1ということで、国民の約8割が既感染となって終息してゆきます。

思えば、武漢も韓国も、大流行は一ヶ月足らずだったのです。

今は地獄のイタリア対し、プーは、Ci sei quasi. Forza Italia!もう少しだ。頑張れイタリア!とエールを送ります。

逆に、いつまでたっても終息宣言しない極東2国には、アディッショナルタイム長くない?
審判を●●してるんじゃないの?と言っておきます。

最後に、小ブログでは、先日のSEIRモデルに、季節変動と免疫失活の要素を加えたモデルを用意しました。
夏に向けて、あるいは来年以降に向けて流行はどうなりそうか。
興味があったらお越しください。
http://ayoshidamd.cocolog-nifty.com/

最後までお読みくださいまして誠にありがとうございます。
今後ともよろしくお願い申し上げます。
メタボ系内科医プー